Lagrangiano clásico desde la fuerza de Lorentz

Acá muestro la obtención de la fuerza de Lorentz en ausencia de campo eléctrico externo a partir de la lagrangiana clásica. El siguiente es el proceso inverso, que se puede extender fácilmente en presencia de campo eléctrico vía la relación {\vec{E}=-\nabla\phi-\frac{\partial\vec{A}}{\partial{t}}}. El detalle está en hallar el potencial V (si existe) tal que la fuerza de Lorentz sea monogénica

\displaystyle{\vec{F}\equiv{e}\,\dot{\vec{r}}\times\left(\nabla\times\vec{A}\right)=-\frac{\partial{V}}{\partial\vec{r}}+\frac{d}{dt}\frac{\partial{V}}{\partial\dot{\vec{r}}  }}

La i-ésima componente de la fuerza es (empleo la suma sobre índices repetidos)

\displaystyle{F_i=e\,\epsilon_{ijk}\dot{r}_j\left(\epsilon_{k\ell{m}}\frac{\partial{A}_\ell}{\partial{r}_m}\right)}\\  =e\,\dot{r}_j\,\epsilon_{kij}\epsilon_{k\ell{m}}\frac{\partial{A}_\ell}{\partial{r}_m}\\  =e\dot{r}_j\left(\delta_{i\ell}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{j\ell}\right)\frac{\partial{A}_\ell}{\partial{r}_m}\\  =e\dot{r}_j\left(\frac{\partial{A}_i}{\partial{r}_j}-\frac{\partial{A}_j}{\partial{r}_i}\right)\\  =e\left[\dot{r}_j\frac{\partial{A}_i}{\partial{r}_j}-\dot{r}_j\frac{\partial{A}_j}{\partial{r}_i}\right]

y ya que {\vec{A}=\vec{A}(\vec{r},t)}, se tiene {\dot{A}_i=(\partial_jA_i)\dot{r}_j}, entonces

\displaystyle{F_i=e\left[\frac{dA_i}{dt}-\dot{r}_j\frac{\partial{A}_j}{\partial{r}_i}\right]}

de modo entonces que por comparación con la primer ecuación, se sigue que

\displaystyle{V=-e\,\dot{r}_iA_i=-e\,\dot{\vec{r}}\cdot\vec{A}}

por tanto

\displaystyle{\mathcal{L}=\frac{1}{2}m\dot{\vec{r}}^{\,2}+e\,\dot{\vec{r}}\cdot\vec{A}}

como se esperaba. En la entrada pasada muestro la obtención del hamiltoniano por transformada de Legendre, sin embargo véase que la lagrangiana es de la forma

\displaystyle{\mathcal{L}=\frac{1}{2}\dot{\vec{r}}^{\,\mathrm{T}}\mathbb{M}\,\dot{\vec{r}}+\vec{a}\cdot\dot{\vec{r}}}

de modo que \mathcal{H} puede escribirse en la forma

\displaystyle{\mathcal{H}=\frac{1}{2}\left(\vec{p}-\vec{a}\right)^\mathrm{T}\mathbb{M}^{-1}\left(\vec{p}-\vec{a}\right)}

entonces en este caso, ya que {\mathbb{M}=m\mathbb{I}=m\begin{pmatrix}1&0&0\\  0&1&0\\  0&0&1\end{pmatrix}} y {\vec{a}\equiv{e}\vec{A}}, se sigue inmediatamente que

\displaystyle{\mathcal{H}=\frac{1}{2m}\left(\vec{p}-e\vec{A}\right)^2}

como se sabe.

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